Acompanha Pós: IA293 - Matrizes

Ementa: Revisão de álgebra linear e de matrizes. Valores e vetores próprios. Semelhança. Matrizes unitárias e normais. Teorema de Schur. Problemas de quadrados mínimos. DecomposiçõesQR e SVD. Formas canônicas. Forma de Jordan. Polinômios e funções de matrizes.Decomposições triangulares. Matrizes simétricas e Hermitianas. Caracterizações variacionais de valores próprios. Congruências. Normas. Número de condição. Métodos iterativos para sistemas lineares. Localização e perturbação de valores próprios. Matrizes definidas positivas. Matrizes não-negativas e de Metzler. Equações matriciais.

Conteúdo Programático: 1. Revisão de Álgebra Linear e Matrizes Operações básicas com matrizes Matrizes especiais: diagonais, triangulares, simétricas, Hermitianas Determinantes e traço de matrizes Espaços vetoriais e transformações lineares 2. Valores e Vetores Próprios Definição e propriedades dos autovalores e autovetores Multiplicidade algébrica e geométrica Base de autovetores e diagonalização de matrizes 3. Semelhança e Formas Canônicas Definição e propriedades da semelhança de matrizes Forma canônica de Jordan e sua interpretação Redução de matrizes a formas mais simples 4. Matrizes Unitárias e Normais Definição e propriedades das matrizes unitárias Matrizes normais e sua relação com operadores lineares Aplicações em decomposição espectral 5. Teorema de Schur e Decomposições Matriciais Enunciado e aplicações do Teorema de Schur Decomposição triangular de matrizes Decomposições QR e Singular Value Decomposition (SVD) 6. Problemas de Quadrados Mínimos Formulação do problema e solução normal Métodos numéricos para quadrados mínimos Aplicações em ajuste de dados e sistemas sobredeterminados 7. Polinômios e Funções de Matrizes Polinômio característico e teorema de Cayley-Hamilton Funções de matrizes: exponencial, logaritmo e senoidal Aplicações em análise de sistemas dinâmicos 8. Matrizes Simétricas e Hermitianas Propriedades e aplicações Teorema espectral para matrizes simétricas e Hermitianas Caracterizações variacionais de autovalores 9. Normas e Número de Condição Definição e tipos de normas matriciais Número de condição e estabilidade numérica Aplicações na análise de erros em sistemas lineares 10. Métodos Iterativos para Sistemas Lineares Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel Métodos baseados em gradiente para grandes sistemas Convergência e análise de complexidade 11. Localização e Perturbação de Autovalores Teoremas de localização de autovalores Perturbação de matrizes e estabilidade espectral Aplicações em controle e otimização 12. Matrizes Definidas Positivas Definição e propriedades fundamentais Critérios de Sylvester para positividade Aplicações em otimização convexa 13. Matrizes Não-Negativas e de Metzler Definição e propriedades Teoria do Perron-Frobenius Aplicações em dinâmica populacional e redes de Markov 14. Equações Matriciais Equação de Sylvester e de Lyapunov Métodos numéricos para solução Aplicações em sistemas dinâmicos e controle

Bibliografia: RA Horn CR Johnson, “Matrix Analysis”, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2013. RA Horn CR Johnson, “Topics in Matrix Analysis”, Cambridge University Press, 1994. DS Watkins, “Fundamentals of Matrix Computatíons”, 2nd Ed., John Wiley Sons, 2002. CD Meyer, “Matrix Analysis and Applied Linear Algebra”, SIAM, 2001.

Critério de Avaliação: Provas, projetos e listas de exercícios.

Bibliografia complementar: n/a